$\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{{{(1 - x)}^2}}}} $ का मान है

मान लीजिए $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ एक सतत फलन है ताकि $f(0)=1$ और $\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) dt = 0$ हो। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ समीकरण $f(x) - 3 \cos 3x = 0$ का $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ में कम से कम एक हल है।
$(B)$ समीकरण $f(x) - 3 \sin 3x = -\frac{6}{\pi}$ का $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ में कम से कम एक हल है।
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = -1$
$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = -1$

एक बहुपद फलन $f(x)$ जो शर्तों $f(x) = [f'(x)]^2$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ को संतुष्ट करता है,हो सकता है:

यदि $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ और $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ है,तो $I_1 : I_2$ क्या है?

मान लीजिए $a, b, c$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$। तो द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के पास:

माना $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ और $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. तो: